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Covarianza

Asociación: Covarianza

En esta entrada se ofrece una breve explicación del concepto de covarianza, que tiene especial relevancia dentro del modelo lineal general. El entendimiento de la covarianza supone el primer paso a la comprensión del concepto de asociación estadística entre dos variables cuantitativas.

La covarianza (Cov) es el primer concepto a entender para poder adentrarse en el mundo de las asociaciones entre variables cuantitativas. Hay dos preguntas que toda persona que quiera comprender este concepto de asociación tiene que hacerse, ¿Qué implica decir que dos variables presentan asociación? ¿Cómo podemos medir dicha asociación? En esta entrada, mediante el entendimiento de la covarianza y algún otro concepto, podrás entender mejor la primera pregunta y dar una respuesta parcial a la segunda.

Cuando decimos que dos variables presentan una asociación, que están correlacionadas, estamos diciendo que, en cierto grado, varían conjuntamente. Es decir, que cuando el valor de una incrementa o disminuye, el de la otra tiende también a incrementar o disminuir en un sujeto dado. Ahora veamos como se puede reflejar en números esa variación conjunta.

Vamos a partir de un escenario simulado, en el que hemos medido a 10 sujetos la intensidad del dolor de hombro (cm) y la fuerza en rotación externa (N):

$$\begin{array} {| ccc |} \hline Sujeto & Dolor & Fuerza \\ \hline 1 & 1 & 180 \\ \hline 2 & 2 & 160 \\ \hline 3 & 3 & 190 \\ \hline 4 & 4 & 120 \\ \hline 5 & 5 & 150 \\ \hline 6 & 6 & 140 \\ \hline 7 & 7 & 130 \\ \hline 8 & 8 & 170 \\ \hline 9 & 9 & 100 \\ \hline 10 & 10 & 110 \\ \hline \end{array}$$

Como hemos comentado, queremos obtener un estadístico que nos sirva para medir el grado en que dos variables varían de manera conjunta, de modo que resulta obvio, que dicho estadístico se tendrá que calcular utilizando los valores de ambas variables. Podríamos calcular el producto de los valores de cada una de las variables, es decir:

$$\begin{array} {| cccc |} \hline Sujeto & Dolor & Fuerza & D*F \\ \hline 1 & 1 & 180 & 180 \\ \hline 2 & 2 & 160 & 320 \\ \hline 3 & 3 & 190 & 570 \\ \hline 4 & 4 & 120 & 480 \\ \hline 5 & 5 & 150 & 750 \\ \hline 6 & 6 & 140 & 840 \\ \hline 7 & 7 & 130 & 910 \\ \hline 8 & 8 & 170 & 1360 \\ \hline 9 & 9 & 100 & 900 \\ \hline 10 & 10 & 110 & 1100 \\ \hline \end{array}$$

Si sumamos dichos productos de la última columna, obtenemos un valor que en nuestro caso simulado es igual a 7410.  Pero, ¿Por qué nos interesa ese valor? Si multiplicamos dos valores grandes, se obtiene como resultado un valor «grande», si multiplicamos dos pequeños, se obtiene como resultado un valor «pequeño» y si multiplicamos uno grande por uno pequeño, obtenemos un valor «medio». Si imaginamos que queremos maximizar la relación entre estas dos variables, existiendo una correlación positiva perfecta, es decir, que a mayor valor de una, mayor valor de la otra, entonces ocurriría que el sujeto con el mayor valor de dolor (10 cm), tendría el mayor valor de fuerza (190 N). Podemos simular ese supuesto caso, obteniéndose la siguiente tabla:

$$\begin{array} {| cccc |} \hline Sujeto & Dolor & Fuerza & D*F \\ \hline 1 & 1 & 100 & 100 \\ \hline 2 & 2 & 110 & 120 \\ \hline 3 & 3 & 120 & 360 \\ \hline 4 & 4 & 130 & 520 \\ \hline 5 & 5 & 140 & 700 \\ \hline 6 & 6 & 150 & 900 \\ \hline 7 & 7 & 160 & 1120 \\ \hline 8 & 8 & 170 & 1360 \\ \hline 9 & 9 & 180 & 1620 \\ \hline 10 & 10 & 190 & 1900 \\ \hline \end{array}$$

En este nuevo caso simulado, la suma de productos es de 8800. Como puede apreciarse, es un valor superior al anterior, el orden de los valores (mayor a menor) coincide en ambas variables, a cada valor máximo le corresponde el máximo que podría del conjunto, esto hace que se maximice la suma de productos, es decir, que obtenga su máximo valor posible con estos datos. Podríamos hacer lo mismo pero a la inversa, es decir, al valor máximo de dolor asociarle el valor mínimo de fuerza, es decir, estando en el caso simulado con una relación negativa perfecta entre las dos variables, en cuyo caso obtendríamos el mínimo valor posible de la suma de productos, siendo de 7150. Por tanto, tenemos dos extremos, el de la máxima correlación positiva posible (8800) y el de la máxima correlación negativa posible (7150). Si realizásemos el proceso anterior de asignación de los valores de fuerza y dolor de forma aleatoria, habrá algún valor que obtengamos de suma de productos que reflejará la mínima correlación posible, que se encontrará entre 7150 y 8800. Como podemos observar, el valor de suma de productos inicial (7410) está próximo al valor de la correlación perfecta negativa (7150), esto nos indicaría a priori que parece haber una correlación negativa en nuestra muestra original (primera tabla) entre ambas variables.

No obstante, esta suma de productos no es lo que se suele utilizar como posible estimador de la correlación entre dos variables. Es aquí donde entra en juego el concepto de covarianza. En lugar de multiplicar directamente los valores como hemos hecho en el caso anterior, lo que se hace es multiplicar la diferencia de dichos valores con respecto a la media muestral, de forma que con los datos iniciales, tendríamos la siguiente tabla:

$$\begin{array} {| ccccccc | } \hline Sujeto & Dolor & Fuerza & D*F & d_i – \bar d & f_i – \bar f & (d_i – \bar d) * (f_i – \bar f) \\ \hline 1 & 1 & 180 & 180 & -4.5 & 35 & -157.5 \\ \hline 2 & 2 & 160 & 320 & -3.5 & 15 & -52.5 \\ \hline 3 & 3 & 190 & 570 & -2.5 & 45 & -112.5 \\ \hline 4 & 4 & 120 & 480 & -1.5 & -25 & 37.5 \\ \hline 5 & 5 & 150 & 750 & -0.5 & 5 & -2.5 \\ \hline 6 & 6 & 140 & 840 & 0.5 & -5 & -2.5 \\ \hline 7 & 7 & 130 & 910 & 1.5 & -15 & -22.5 \\ \hline 8 & 8 & 170 & 1360 & 2.5 & 25 & 62.5 \\ \hline 9 & 9 & 100 & 900 & 3.5 & -45 & 157.5 \\ \hline 10 & 10 & 110 & 1100 & 4.5 & -35 & -157.5 \\ \hline \end{array}$$

En este caso las tres últimas columnas son las importantes, la primera refleja las diferencias del valor de dolor de cada sujeto con respecto a la media del grupo, la segunda lo mismo pero para la fuerza y la tercera es el producto de estas dos columnas anteriores. Si sumamos los valores de la última columna, obtenemos lo que se conoce como producto cruzado, que en este caso tiene un valor de -565. La diferencia de este valor, con respecto a la primera multiplicación que hacíamos con los datos originales, es que está centrado en el cero, es decir, mientras que en el anterior caso si las variables tenían cero correlación, obteníamos un valor de productos distinto de cero, en este caso cuando hay cero correlación el valor del producto cruzado es de cero. ¿Y qué es entonces la covarianza? Dado que el valor del producto cruzado depende del número de sujetos de la muestra, lo que se hace es dividir entre dicho valor (o entre los grados de libertad si es una estimación poblacional a partir de una muestra), para controlar este factor, de manera que puedan compararse distintas muestras. Este valor es la covarianza, cuya fórmula sería:

$$ Cov(X,Y) = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i – \bar x)*(y_i – \bar y)}{n-1}$$

En nuestro caso, el valor de la covarianza entre el dolor y la fuerza es de -62.78 (el signo negativo indica que la correlación es negativa, a menos dolor más fuerza). Si la correlación entre dos variables es de cero, entonces su covarianza también. La fórmula anterior puede resultar familiar, eso es por su similitud con la fórmula de la varianza de una variable:

$$\sigma^2_x = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i – \bar x)^2}{n-1} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i – \bar x)*(x_i – \bar x)}{n-1}$$

Es importante darse cuenta de esta similitud, ya que sirve pare entender el concepto de «variabilidad conjunta». Mientras que para una sola variable, al estimar su variabilidad, multiplicábamos el mismo término por si mismo (elevábamos al cuadrado), ahora lo que se hace es, como tenemos dos variables, multiplicamos un término por el otro, para obtener un estimador de esa variabilidad conjunta de ambas variables, la covarianza. Entender esta similitud servirá posteriormente para comprender otro concepto, el coeficiente de correlación de Pearson. Este coeficiente es el que se utiliza en última instancia para evaluar la correlación entre dos variables cuantitativas que cumplan una serie de asunciones. No obstante, ya se ha podido conocer en esta entrada un estadístico que permite evaluar la relación entre dos variables, la covarianza, que es de suma importancia para múltiples análisis estadísticos.

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