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Fiabilidad de Diferencias (I)

Fiabilidad: Diferencia entre dos mediciones (I)

En esta entrada se ofrece una breve explicación de un factor a tener en cuenta con respecto a la fiabilidad de las mediciones y de su diferencia. Es un punto importante para la planificación, análisis e interpretación especialmente de los ensayos clínicos aleatorizados.

Existen situaciones en investigación en las cuales se mide una misma variable múltiples veces a lo largo del tiempo. En estos casos, una opción de análisis que suele realizarse, es calcular las diferencias entre los pares de mediciones y utilizar esta nueva variable calculada para los análisis estadísticos. Sin embargo, no siempre quienes toman tales decisiones son conscientes de algunas de las implicaciones de las mismas para con respecto a tu investigación. A continuación explico un aspecto (pero no el único) a tener en cuenta en estos casos, en relación con el campo de la fiabilidad.

Vamos a partir de la asunción de que queremos realizar un ensayo clínico aleatorizado (ECA), donde comparamos dos tratamientos (ejercicio de fuerza y ejercicio aeróbico) en sujetos «hombro congelado», para la mejoría del rango de movimiento de rotación externa, con tan solo dos mediciones, una basal antes del tratamiento (B) y otra al finalizar el programa de tratamiento a los 3 meses (P). Decidimos calcular la diferencia entre dichas dos mediciones (P – B) y utilizar esa nueva variable para comparar los tratamientos y evaluar si alguno es más efectivo.

Antes de comenzar, es necesario recordar la definición matemática de la fiabilidad (ρ) relativa, que sería igual a la división de la variabilidad real (σ2r) entre la variabilidad real más la variabilidad del error de medición (σ2e), es decir, entre la variabilidad total (σ2t):

$$\rho= \frac{\sigma^2_r}{\sigma^2_r + \sigma^2_e}$$

Partiré de esta fórmula para desarrollar toda la explicación. Vamos a sumir que existe independencia entre los errores de medición, es decir, que no existe una correlación entre el error de medición cometido en la situación basal y el cometido a los 3 meses para un determinado sujeto dado, así como que no hay una correlación entre el error de medición cometido y el valor real del sujeto, es decir, que estamos ante un caso de homocedasticidad. Finalmente, también asumiremos que la correlación existente entre la medición basal (B) y la post-tratamiento (P) es positiva (Walters 2019).

Asumiendo todo esto, podemos definir la varianza de las cada una de las dos variables (B y P) con su respectivo error de medición (e) como:

$$\sigma^2_B = \sigma^2_{rb} + \sigma^2_{eb}$$

$$\sigma^2_P = \sigma^2_{rp} + \sigma^2_{ep}$$

Ahora retomaremos las propiedades de la varianza, en concreto la tercera, con la que podemos estimar la variabilidad real de la diferencia entre P y B, excluyendo los términos de error de medición:

$$\sigma^2_{r(p-b)} = \sigma^2_{rb} + \sigma^2_{rp} – 2Cov(P,B)$$

Mientras que, en función de las asunciones de arriba de independencia de errores y homocedasticidad, la variabilidad total de P menos B quedaría definida como:

$$\sigma^2_{t(p-b)} = \sigma^2_{rb} + \sigma^2_{rp} – 2Cov(P,B) + \sigma^2_{eb} + \sigma^2_{ep}$$

El término importante de dichas fórmulas es la covarianza, el -2Cov(P,B). Cuando dos variables no presentan correlación (r = 0), el valor de la covariable es cero, mientras que cuando estamos en un caso de correlación positiva perfecta (r = 1), el valor de la covarianza es máximo. Si retomamos la fórmula de fiabilidad, podemos expresar la fiabilidad de la diferencia P-B como:

$$\rho_{p-b} = \frac{\sigma^2_{r(p-b)}}{\sigma^2_{r(p-b)} + \sigma^2_{e(p-b)}} = \frac{\sigma^2_{rb} + \sigma^2_{rp} – 2Cov(P,B)}{\sigma^2_{rb} + \sigma^2_{rp} – 2Cov(P,B) + \sigma^2_{eb} + \sigma^2_{ep}}$$

Como se puede apreciar, según incremente la correlación entre P y B, la covarianza se incrementará también y por tanto, el componente del numerador, que es la variabilidad real, disminuirá, produciendo por tanto una disminución en la fiabilidad de la diferencia P-B en comparación a las fiabilidades individuales de la medición basal (B) y post-tratamiento (P). Este hecho puede apreciarse más fácilmente si observamos la fórmula estimada para la fiabilidad de las diferencias en función de la fiabilidad de cada medición y la correlación entre ellas, que quedaría definida como (Chiou 1996):

$$\rho_{p-b} = \frac{\sigma^2_b\rho_b + \sigma^2_p\rho_p – 2r_{bp}\sigma_b\sigma_p}{\sigma^2_b + \sigma^2_p – 2r_{bp}\sigma_b\sigma_p}$$

Realizaré una asunción más para simplificar esta fórmula. Asumiendo que las varianzas de la medición basal y la post-tratamiento son iguales, entonces:

$$\rho_{p-b} = \frac{\rho_b + \rho_p – 2r_{bp}}{2(1-r_{bp})}$$

En esta última fórmula se puede apreciar mejor como cuando aumenta la correlación entre B y P (rbp), disminuye la fiabilidad de la diferencia.

Conclusiones

Estos aspectos de cambios en la fiabilidad en las diferencias con respecto a las mediciones deben tenerse en consideración a la hora de decidir que análisis utilizar en una investigación, existiendo otras opciones como el Análisis de la Covarianza (ANCOVA) o la regresión lineal múltiple que pueden ser más adecuadas. Sin embargo, los ejemplos aquí mostrados se basan en que se dan una serie de asunciones, que no siempre tienen porqué darse y que pueden alterar las conclusiones aquí extraídas de pérdida de fiabilidad, pudiendo darse situaciones donde el uso de las diferencias no esté tan desaconsejado. Mi posición al respecto, con respecto al campo de los ensayos clínicos aleatorizados en Fisioterapia, es que se prime la utilización de ANCOVA y/o regresión lineal múltiple por encima de las diferencias y análisis como el Análisis de la Varianza (ANOVA). En caso de que se decidiera usar estas diferencias, debería valorarse y tenerse en cuenta la posible pérdida de fiabilidad a la hora de realizar los cálculos de tamaño muestral.

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2 respuestas a «Fiabilidad de Diferencias (I)»

Hola Rubén, muchas gracias por la entrada. Soy Marcos Moreno, fisioterapeuta, te quería preguntar sobre el cálculo de la fiabilidad en muestras que no sigue una distribución normal. Tengo que buscar una alternativa al ICC «no paramétrica» para publicar un artículo de mi tesis, y no encuentro la forma. Por favor si pudieras y quisieras, ¿te podría hacer una consulta sobre cómo poder realizar un cálculo de este tipo usando un GLMM en RStudio? Me harías un enorme favor. Muchas gracias de antemano. Te dejo mi e-mail.

Hola Marcos! Te contesto brevemente por aquí por si alguien más le surge esta duda y te escribo por correo con más detalle. En principio, la asunción normalidad no es de las que considere más importantes a la hora de decidir si usar o no el ICC como estimador de fiabilidad, menos aún evaluando dicha asunción con tests como Shapiro-Wilk o Kolmogorov-Smirnov como a veces se hace. Realmente, tenemos pocas alternativas que hayan demostrado la base que tienen los ICC como estimadores de fiabilidad, una opción en algunos casos es el coeficiente de Finn (cuando hay poca variabilidad entre-sujetos), pero que incluso algunos autores recomiendan comparar siempre con los valores del ICC. La mejor opción siempre a mi parecer, es evaluar el motivo/s por el que se supone que estamos decidiendo que la asunción de normalidad no se podría asumir y tomar medidas sobre esos motivos. Pero incluso aunque «parezca violarse dicha asunción», la mayoría de las veces a mi parecer, el ICC es adecuado como estimador de fiabilidad.

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