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Tendencia Central: Media

Tendencia central: la media

La media es uno de los estadísticos descriptivos de tendencia central más utilizados y cuyo entendimiento es crucial para la interpretación de una gran cantidad de análisis estadísticos.

En lenguaje común, cuando hablamos de «la media» estamos haciendo normalmente referencia a la medía aritmética. Sin embargo, existen otros tipos de medias, como la geométrica o la armónica, que no se verán en esta entrada. De ahora en adelante, en el resto de entradas, se asumirá que cuando se haga referencia a «la media» se está hablando siempre de la media aritmética.

Dentro del abanico de medidas de tendencia central, la media aritmética es una de las más utilizadas. Múltiples análisis estadísticos como la prueba t-Student, una regresión lineal o los Análisis de la Varianza (ANOVA), se basan en el uso de la media como estimador de tendencia central. Es por ello que es necesaria una buena comprensión de este concepto para poder interpretar adecuadamente dichos análisis. La fórmula de la media aritmética de una muestra sería la siguiente:

$$\bar x = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

Sería por tanto, el sumatorio de todos los valores de una muestra entre el número total de valores presentes en la misma. Por su parte, la fórmula de la media aritmética de una población, estimada a partir de una muestra, se expresaría como:

$$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

Es decir, la media aritmética muestral es un estimador directo de la media aritmética poblacional, a diferencia de la desviación estándar, donde la fórmula difiere ligeramente en el caso de la muestra y el de la estimación poblacional.

Asunciones para el uso de la media

La media aritmética se basa en el método de mínimos cuadrados ordinarioses decir, el uso de la media como estimador del valor de cualquier sujeto de la muestra, disminuye al mínimo la suma de cuadrados. Estas condiciones serían las siguientes:

  • La distribución de los datos es continua.
  • La distribución de los datos es simétrica.

La media es especialmente sensible a la presencia de valores atípicos, Por ejemplo, si tenemos una muestra A, simétrica y sin valores atípicos, la presencia de 1 solo valor atípico que produzca una asimetría (muestra B), induce cambios considerables en el valor de la media aritmética:

$$A = \{2,2,3,4,5,6,7,8,8\}$$

$$\bar x_A = 5$$

$$B = \{2,2,3,4,5,6,7,8,31\}$$

$$\bar x_B = 7.56$$

Es por ello que debemos evaluar cuidadosamente si la media es una buena medida de tendencia central para nuestros datos, pues la utilización de la misma en casos en que no esté indicado, puede llevar a errores notorios de interpretación. En una investigación, esta presencia de valores atípicos suele evaluarse previa realización de los análisis estadísticos, para tomar las decisiones más acertadas con respecto a como tratar los mismos para evitar tales malinterpretaciones.

Propiedades de la media

Algunas propiedades básicas de la media son:

  • No tiene porqué corresponderse con ningún valor de la muestra.

Este es un punto muy relevante, pues es un error frecuente atribuir el resultado de una diferencia de medias entre dos intervenciones en un ensayo clínico, a los sujetos individuales vistos en la práctica clínica. Las medias sirven para reflejar la tendencia central de una muestra, pero no deben ser utilizadas para interpretar valores individuales, es decir, no podemos extrapolar una diferencia media a un paciente que vemos el lunes en la consulta. Lo sencillo es «predecir» comportamientos muestrales o poblacionales, pero realizar predicciones (por ejemplo de mejoría con una intervención) a sujetos individuales, es una tarea ardua. 

  • No tiene porqué ser un número entero, aunque todos los valores de la muestra si lo sean.
  • No tiene porqué dividir la muestra en dos mitades iguales, es decir, en la mayoría de casos, es falso afirmar que por encima de la media se encuentran la mitad de los valores.
  • La media presenta las mismas unidades que los valores utilizados para su cálculo. Es decir, si usamos valores de peso (kg) para calcular la media, la media estará en kilogramos también.

Otras dos propiedades útiles a conocer serían:

  • Si sumamos una constante a todos los valores de una muestra, la media resultante es igual a la media original más dicha constante:

$$\bar x_{i+k} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i + k)}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i }{n} + k$$

  • La media de la suma o resta de dos muestras con las mismas unidades, es igual a la suma o resta de sus respectivas medias:

$$\bar x_{a \pm b} = \bar x_a \pm \bar x_b$$

Finalmente, también debemos tener en cuenta que las proporciones son medias. Imaginemos que tenemos una muestra de 10 sujetos, que pueden o no presentar dolor de hombro. En este caso, 5 sujetos presentan dolor de hombro, de modo que la frecuencia (prevalencia) es de 0.50. Si adjudicamos el valor 1 a los sujetos con dolor de hombro y el valor 0 a los que no tienen dolor, tendríamos la siguiente representación de dicha muestra:

$$ Muestra = \{1,0,1,1,0,1,0,0,0,1\}$$

Si aplicamos la fórmula de la media mencionada al inicio, entonces tenemos que la media de dicha muestra sería:

$$\bar x = \frac{1+0+1+1+0+1+0+0+0+1}{10}= \frac{5}{10}= 0.50$$

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2 respuestas a «Tendencia Central: Media»

Hola. ¿Se puede utilizar la media aritmética en un artículo de investigación o es demasiado simple?. Si la respuesta es positiva, ¿podrías citarme un artículo que la utilice?. Un saludo.

Buenas tardes Juan Ignacio, se puede utilizar, de hecho la mayoría de investigaciones en Fisioterapia usan como medida de tendencia central la media, como este estudio reciente por ejemplo https://www.thelancet.com/journals/lancet/article/PIIS0140-6736(21)00846-1/fulltext , de hecho, incluso los análisis de regresión son simplemente estimaciones de medias, en esta entrada explico un poco breve ese punto por si te interesa, http://physiostats.com/regresion-lineal-interpretacion-coeficientes/ . Un saludo y gracias por ser el primero en comentar en la web!

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