Fiabilidad de Diferencias (I)

Existen situaciones en investigación en las cuales se mide una misma variable múltiples veces a lo largo del tiempo. En estos casos, una opción de análisis que suele realizarse, es calcular las diferencias entre los pares de mediciones y utilizar esta nueva variable calculada para los análisis estadísticos. Sin embargo, no siempre quienes toman tales decisiones son conscientes de algunas de las implicaciones de las mismas para con respecto a tu investigación. A continuación explico un aspecto (pero no el único) a tener en cuenta en estos casos, en relación con el campo de la fiabilidad.

Vamos a partir de la asunción de que queremos realizar un ensayo clínico aleatorizado (ECA), donde comparamos dos tratamientos (ejercicio de fuerza y ejercicio aeróbico) en sujetos «hombro congelado», para la mejoría del rango de movimiento de rotación externa, con tan solo dos mediciones, una basal antes del tratamiento (B) y otra al finalizar el programa de tratamiento a los 3 meses (P). Decidimos calcular la diferencia entre dichas dos mediciones (P – B) y utilizar esa nueva variable para comparar los tratamientos y evaluar si alguno es más efectivo.

Antes de comenzar, es necesario recordar la definición matemática de la fiabilidad (ρ) relativa, que sería igual a la división de la variabilidad real (σ²_r) entre la variabilidad real más la variabilidad del error de medición (σ²_e), es decir, entre la variabilidad total (σ²_t):

$$\rho= \frac{\sigma^2_r}{\sigma^2_r + \sigma^2_e}$$

Partiré de esta fórmula para desarrollar toda la explicación. Vamos a sumir que existe independencia entre los errores de medición, es decir, que no existe una correlación entre el error de medición cometido en la situación basal y el cometido a los 3 meses para un determinado sujeto dado, así como que no hay una correlación entre el error de medición cometido y el valor real del sujeto, es decir, que estamos ante un caso de homocedasticidad. Finalmente, también asumiremos que la correlación existente entre la medición basal (B) y la post-tratamiento (P) es positiva (Walters 2019).

Asumiendo todo esto, podemos definir la varianza de las cada una de las dos variables (B y P) con su respectivo error de medición (e) como:

$$\sigma^2_B = \sigma^2_{rb} + \sigma^2_{eb}$$

$$\sigma^2_P = \sigma^2_{rp} + \sigma^2_{ep}$$

Ahora retomaremos las propiedades de la varianza, en concreto la tercera, con la que podemos estimar la variabilidad real de la diferencia entre P y B, excluyendo los términos de error de medición:

$$\sigma^2_{r(p-b)} = \sigma^2_{rb} + \sigma^2_{rp} – 2Cov(P,B)$$

Mientras que, en función de las asunciones de arriba de independencia de errores y homocedasticidad, la variabilidad total de P menos B quedaría definida como:

$$\sigma^2_{t(p-b)} = \sigma^2_{rb} + \sigma^2_{rp} – 2Cov(P,B) + \sigma^2_{eb} + \sigma^2_{ep}$$

El término importante de dichas fórmulas es la covarianza, el -2Cov(P,B). Cuando dos variables no presentan correlación (r = 0), el valor de la covariable es cero, mientras que cuando estamos en un caso de correlación positiva perfecta (r = 1), el valor de la covarianza es máximo. Si retomamos la fórmula de fiabilidad, podemos expresar la fiabilidad de la diferencia P-B como:

$$\rho_{p-b} = \frac{\sigma^2_{r(p-b)}}{\sigma^2_{r(p-b)} + \sigma^2_{e(p-b)}} = \frac{\sigma^2_{rb} + \sigma^2_{rp} – 2Cov(P,B)}{\sigma^2_{rb} + \sigma^2_{rp} – 2Cov(P,B) + \sigma^2_{eb} + \sigma^2_{ep}}$$

Como se puede apreciar, según incremente la correlación entre P y B, la covarianza se incrementará también y por tanto, el componente del numerador, que es la variabilidad real, disminuirá, produciendo por tanto una disminución en la fiabilidad de la diferencia P-B en comparación a las fiabilidades individuales de la medición basal (B) y post-tratamiento (P). Este hecho puede apreciarse más fácilmente si observamos la fórmula estimada para la fiabilidad de las diferencias en función de la fiabilidad de cada medición y la correlación entre ellas, que quedaría definida como (Chiou 1996):

$$\rho_{p-b} = \frac{\sigma^2_b\rho_b + \sigma^2_p\rho_p – 2r_{bp}\sigma_b\sigma_p}{\sigma^2_b + \sigma^2_p – 2r_{bp}\sigma_b\sigma_p}$$

Realizaré una asunción más para simplificar esta fórmula. Asumiendo que las varianzas de la medición basal y la post-tratamiento son iguales, entonces:

$$\rho_{p-b} = \frac{\rho_b + \rho_p – 2r_{bp}}{2(1-r_{bp})}$$

En esta última fórmula se puede apreciar mejor como cuando aumenta la correlación entre B y P (r_bp), disminuye la fiabilidad de la diferencia.