Modelo Lineal General Explicación

El Modelo Lineal General engloba un conjunto de análisis paramétricos que se basan en intentar predecir una variable continua en función de una o más variables, asumiendo que la relación entre ellas es de tipo lineal, usando el método de mínimos cuadrados ordinarios. Bajo este modelo se incluyen análisis como la prueba t-Student, la regresión lineal simple y múltiple, el Análisis de la Varianza y el Análisis de la Covarianza. A pesar de existir tantos nombres distintos, todos ellos son en realidad el mismo tipo de análisis, una regresión lineal con una o más variables predictoras. En esta entrada voy a ejemplificar esta afirmación equiparando la prueba t-Student a una regresión lineal simple.

Vamos a partir de un estudio transversal en el que queremos evaluar si existen diferencias en la fuerza de rotación externa entre personas con y sin tendinopatía del manguito rotador. Para ello, asumiremos los siguientes valores poblacionales de fuerza de rotación externa:

$$Sanos \rightarrow \mu_{sanos} = 150N \ y \ \sigma_{sanos} = 40N$$

$$Dolor \rightarrow \mu_{dolor} = 140N \ y \ \sigma_{dolor} = 40N$$

Partiendo de estos datos poblacionales, simulamos un estudio en el que seleccionamos mediante un muestreo probabilístico 320 sujetos sanos y 320 con tendinopatía del manguito, obteniendo los siguientes datos muestrales:

$$Sanos \rightarrow \bar x_{sanos} = 152.07N \ y \ s_{sanos} = 41.32N$$

$$Dolor \rightarrow \bar x_{dolor} = 140.75N \ y \ s_{dolor} = 39.35N$$

En este estudio tenemos por tanto dos variables, la variable Dolor (0 = no, 1 = si), que sería la variable independiente (categórica binomial) y la variable fuerza (medida en Newtons), que sería la variable dependiente (cuantitativa continua). Con ellas, podemos crear el siguiente modelo de regresión lineal simple, donde queremos predecir la fuerza en función de la presencia de dolor:

$$Fuerza_i = C + b*Dolor_i$$

En esta fórmula, C es la constante y b es el coeficiente de regresión sin estandarizar. Imaginemos ahora que queremos predecir el valor fuerza de un sujeto i perteneciente al grupo de los participantes sanos. En este caso, el valor de dicho sujeto en la variable Dolor es cero, de modo que la anterior fórmula quedaría como:

$$Fuerza_i = C + b*0$$

$$Fuerza_i = C$$

Es decir, el valor predicho para dicho sujeto es igual a la constante de la fórmula de regresión lineal. Pero, ¿Qué valor tiene dicha constante? Recordando la entrada de mínimos cuadrados ordinarios, el mejor valor que podemos utilizar para predecir la puntuación de un sujeto de una muestra, es la media de dicha muestra, por tanto:

$$Fuerza_i = C = \bar x_{sanos} = 152.07$$

Es decir, la constante de la fórmula de regresión es la media del grupo de los participantes sanos. Ahora solo nos quedaría por conocer cual es el valor del coeficiente de regresión sin estandarizar (b) para poder completar la fórmula. Imaginemos que queremos predecir el valor de un sujeto i perteneciente al grupo de participantes con tendinopatía del manguito rotador. En este caso, el valor de la variable Dolor para dicho sujeto es de uno, de manera que:

$$Fuerza_i = 152.07 + b*1$$

$$Fuerza_i = 152.07 + b$$

Si partimos de la misma asunción realizada anteriormente basándonos en el método de mínimos cuadrados ordinarios, que es en el que se basa el modelo lineal general, el mejor valor que podemos utilizar para predecir la fuerza de un sujeto del grupo de participantes con tendinopatía del manguito rotador es la media de dicho grupo, de manera que la fórmula quedaría como:

$$140.75 = 152.07 + b$$

Si despejamos b de dicha fórmula, obtenemos que:

$$b = 140.74 – 152.07 = -11.32$$

Es decir, el coeficiente de regresión sin estandarizar (b) es igual a la diferencia media entre el grupo de participantes sanos y el grupo de sujetos con tendinopatía del manguito rotador. Por tanto, lo que estamos evaluando con este modelo de regresión lineal es si la diferencia media entre los grupos es estadísticamente significativa, que es lo mismo que evaluamos cuando utilizamos la prueba t-Student. A continuación muestro los resultados utilizando ambos análisis, de forma que se pueda observar que se obtiene el mismo resultado con ambos análisis, ya que son matemáticamente equivalentes, aunque les pongamos distinto nombre:

Prueba t-Student:

$$t = 3.55, gl = 636.49, p = .000416$$

$$ \bar x_{dolor – sano} = -11.32, Intervalo \ de \ Confianza \ 95\% = 5.06 \ a \ 17.58$$

Regresión lineal simple:

$$Constante = 152.07, error \ estandar = 2.26, t = 67.246 p < .0001$$

$$b = -11.32, error \ estandar = 3.19, t = 3.55, p = .000416, Intervalo \ de \ Confianza \ 95 \% = 5.06 \ a \ 17.58$$

Por tanto, queda demostrado que la prueba t-Student y una regresión lineal simple son el mismo análisis estadístico. Esta misma demostración puede realizarse con otros análisis como un Análisis de la Varianza, aunque de una manera no tan visual como en el presente caso, pero con la misma conclusión, el Análisis de la Varianza no es más que un análisis de regresión lineal, bajo el modelo lineal general, todo son regresiones lineales.